Το καταλληλότερο θέμα για την παρθενική ανάρτηση του ιστολογίου θεωρώ ότι είναι η επεξήγηση του τίτλου του ιστολογίου.
\[ (\neg A \rightarrow A) \rightarrow A, \] όπου με \(A\) συμβολίζουμε μια δεδομένη λογική πρόταση (δηλαδή μια πρόταση που είναι αληθής ή ψευδής), \(\neg\) είναι το σύμβολο της άρνησης της πρότασης και \(\rightarrow\) είναι το σύμβολο της συνεπαγωγής (το γνωστό σχήμα "εάν...τότε...").
Πηγές:
Η φράση Consequentia Mirabilis είναι Λατινική και σημαίνει κατά λέξη "θαυμαστή συνέπεια". Έτσι αποκαλείται ένας κανόνας της κλασικής λογικής ο οποίος διατυπώνεται ως εξής:
Εάν μια λογική πρόταση συνεπάγεται από την άρνησή της, τότε η εν λόγω πρόταση είναι αληθής.Χρησιμοποιώντας τον καθιερωμένο συμβολισμό στη λογική, ο κανόνας γράφεται:
\[ (\neg A \rightarrow A) \rightarrow A, \] όπου με \(A\) συμβολίζουμε μια δεδομένη λογική πρόταση (δηλαδή μια πρόταση που είναι αληθής ή ψευδής), \(\neg\) είναι το σύμβολο της άρνησης της πρότασης και \(\rightarrow\) είναι το σύμβολο της συνεπαγωγής (το γνωστό σχήμα "εάν...τότε...").
Ο κανόνας Consequentia Μirabilis είναι επίσης γνωστός με την ονομασία κανόνας του Κλάβιους (Lex Clavia), προς τιμή του Γερμανού μαθηματικού και αστρονόμου Κρίστοφερ Κλάβιους (Christopher Clavius, 25/3/1538 - 3/2/1612). Ιστορικά, διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Τζιρολάμο Σακέρι (Giovanni Girolamo Saccheri, 5/9/1667 - 25/10/1733). Ακολουθώντας την Αριστοτέλεια λογική προσπάθησε να όρισει ένα δικό του σύστημα λογικής. Στην πορεία της εργασίας του γράφει:
"Είναι πλέον πρόθεση μου να ακολουθήσω έναν διαφορετικό και, όπως νομίζω, πολύ όμορφο τρόπο για να αποδείξω αυτές τις ίδιες αλήθειες χωρίς τη βοήθεια κάποιας υπόθεσης. Θα προχωρήσω ως εξής: θα πάρω την αντίθετη της προς απόδειξη πρόταση και θα εκμαιεύσω το απαιτούμενο με απευθείας απόδειξη."
Θα προσπαθήσω τώρα να επεξηγήσω την ισχύ του κανόνα: ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μια λογική πρόταση \(A\) για την οποία γνωρίζουμε ότι \(\neg A \rightarrow A\).
Υποθέτουμε ότι δεν αληθεύει η \(A\), δηλαδή ότι αληθεύει η \(\neg A\). Από τη δεδομένη συνεπαγωγή προκύπτει ότι αληθεύει η \(A\). Επομένως, καταλήγουμε στο ότι αληθεύουν αμφότερες οι \(A\) και \(\neg A\), γεγονός αδύνατο. Συνεπώς η αρχική υπόθεση (δεν αληθεύει η \(A\)) είναι λανθασμένη. Άρα, η \(A\) τελικά αληθεύει.
Υπάρχουν πολλές περιστάσεις όπου ο κανόνας Consequentia Μirabilis χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και στη λογική. Παρακάτω θα δοθεί ένα παράδειγμα εφαρμογής του κανόνα σε έναν γρίφο.
Ο Αντώνης είναι ένας φοιτητής του οποίου η ακαδημαϊκή ζωή διέπεται από τους εξής κανόνες:
Μπορούμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα σχετικό με τους βαθμούς του Αντώνη;
- Εάν διαβάζει, τότε παίρνει καλούς βαθμούς.
- Εάν δεν διαβάζει, τότε απολαμβάνει τη ζωή του.
- Εάν δεν παίρνει καλούς βαθμούς, τότε δεν απολαμβάνει τη ζωή του.
Θα αποδείξουμε ότι ο Αντώνης παίρνει καλούς βαθμούς. Συμβολίζοντας με \(A\) την πρόταση "Ο Αντώνης παίρνει καλούς βαθμούς", θα αποδείξουμε συγκεκριμένα ότι \(\neg A \rightarrow A\). Έπειτα, με χρήση του κανόνα Consequentia Mirabilis θα καταλήξουμε στο ζητούμενο.
Έστω ότι ο Αντώνης δεν παίρνει καλούς βαθμούς (υποθέτουμε δηλαδή την ισχύ της \(\neg A\)). Από την υπόθεση (3) του γρίφου συμπεραίνουμε ότι ο Αντώνης δεν απολαμβάνει τη ζωή του. Άρα, από την υπόθεση (2) του γρίφου, ο Αντώνης διαβάζει. Επομένως, από την υπόθεση (1) του γρίφου, ο Αντώνης παίρνει καλούς βαθμούς (δηλαδή ισχύει η \(A\)). Έχουμε αποδείξει λοιπόν τη ζητούμενη συνεπαγωγή \(\neg A \rightarrow A\). Με επίκληση λοιπόν του Consequentia Mirabilis, ισχύει η \(A\), δηλαδή ο Αντώνης παίρνει καλούς βαθμούς.
Πηγές:
- Brown, Frank Markham, Boolean reasoning, Dover publications 2003
- DeLong Howard, A profile of mathematical logic, Dover publications 2004
