Στην ανάρτηση αυτή θα δούμε μερικά στοιχεία για το καθιερωμένο ημερολόγιο που ακολουθούμε, το λεγόμενο Γρηγοριανό ημερολόγιο.
Ιστορικά στοιχεία
Το Γρηγοριανό ημερολόγιο πήρε το όνομά του από τον πάπα Γρηγόριο ΙΓ (1502-1595), ο οποίος το εισήγαγε το 1582, και αποτελεί βελτίωση του Ιουλιανού ημερολογίου. To 46 π.κ.ε., Ο Ιούλιος Καίσαρας αντικατέστησε το Αιγυπτιακό ημερολόγιο, το οποίο είχε ως βάση το έτος των 365 ημερών, με ένα νέο ημερολόγιο (το λεγόμενο Ιουλιανό) με έτος μέσης διάρκειας 365,25 ημερών και με δίσεκτα έτη κάθε τέταρτο έτος.
Ωστόσο, πιο πρόσφατοι υπολογισμοί έδειξαν ότι η πραγματική διάρκεια ενός έτους είναι ίση με 365,2422 ημέρες. Με το πέρασμα των αιώνων, τα σφάλματα των 0,0078 ημερών ανά έτος αθροίστηκαν και το έτος 1582 είχαν προστεθεί 10 ημέρες επιπλέον από τα δίσεκτα έτη. Με σκοπό τη διόρθωση αυτής της κατάστασης, ο πάπας Γρηγόριος όρισε νέο ημερολόγιο το 1582. Το κίνητρο της ημερολογιακής αναθεώρησης ήταν η μεταφορά της ημέρας εορτασμού του πάσχα πιό κοντά στην εποχή που εορταζόταν από την πρώιμη εκκλησία. Δεδομένου ότι η ημέρα εορτασμού του πάσχα είχε οριστεί με βάση την εαρινή ισημερία, η καθολική εκκλησία θεώρησε ότι η προοδευτική αλλαγή της ημέρας του πάσχα δεν ήταν επιθυμητή.
Αρχικά, η 5η Οκτωβρίου του 1582 άλλαξε στη 15η Οκτωβρίου του 1582 και οι ενδιάμεσες ημέρες παραλείφθηκαν στην μέτρηση της ημερομηνίας. Έπειτα, αποφασίστηκε ότι δίσεκτα έτη θα είναι τα έτη που διαιρούνται από το 4 εκτός από αυτά που διαιρούνται από το 100, δηλαδή οι αρχές κάθε αιώνα, τα οποία θα είναι δίσεκτα μόνον όταν διαιρούνται από το 400. Ως παράδειγμα, τα έτη 1700, 1800 και 1900 δεν είναι δίσεκτα, ενώ τα 1600 και 2000 είναι δίσεκτα. Με αυτήν την διευθέτηση, το μέσο μήκος ενός ημερολογιακού έτους είναι 365,2425 ημέρες, αρκετά κοντά στην αληθή τιμή των 365,2422 ημερών. Το σφάλμα των 0,0003 ημερών ανά έτος παραμένει, το οποίο είναι ισοδύναμο με 3 ημέρες ανά 10.000 έτη. Στο απώτερο μέλλον, το πρόβλημα αυτό θα πρέπει να διευθετηθεί και έχουν ήδη προταθεί διάφορες λύσεις.
Το Γρηγοριανό ημερολόγιο δεν υιοθετήθηκε αρχικά σε όλα τα μέρη του κόσμου. Στη Μεγάλη Βρετανία, και κατ' επέκταση στις Η. Π. Α., υιοθετήθηκε το 1752 και ήταν απαραίτητη η πρόσθεση 11 ημερών. Η Ιαπωνία το υιοθέτησε το 1873, η Ρωσία και οι γειτονικές χώρες το υιοθέτησαν το 1917, ενώ η Ελλάδα το υιοθέτησε τελευταία, το 1923.
Κάποια απαραίτητα στοιχεία από τη Θεωρία Αριθμών
Πριν αναπτύξουμε κάποια μαθηματικά αποτελέσματα σχετικά με το Γρηγοριανό ημερολόγο θα παρουσιάσουμε πρώτα κάποια στοιχεία θεωρίας, για λόγους πληρότητας.
Έστω \(a,b\in\mathbb{Z}\) δύο ακέραιοι αριθμοί και \(m\in\mathbb{Z}^{+}\) ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Οι \(a,b\) ονομάζονται ισότιμοι κατά μόδιο \(m\) και το συμβολίζουμε ως \(a\equiv b\pmod{m}\) εάν και μόνον εάν ο \(m\) διαιρεί τη διαφορά \(a-b\). Παραδείγματος χάρη, \(29\equiv 4\pmod{5}\), \(40\equiv -2\pmod{7}\),
\(20\not\equiv 3\pmod{6}\). Σημειώνουμε ότι ο ακέραιος \(a\) είναι πάντα μοδιακά ισοδύναμος κατα \(m\) με το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(a\) με τον \(m\). Μερικές ιδιότητες της μοδιακής ισοδυναμίας δίνονται παρακάτω.
Εάν \(a,b,c\in\mathbb{Z}\) και \(m\in\mathbb{Z}^{+}\) τότε:
- \(a\equiv b\pmod{m}\).
- Εάν \(a\equiv b\pmod{m}\) τότε \(b\equiv a\pmod{m}\).
- Εάν \(a\equiv b\pmod{m}\) και \(b\equiv c\pmod{m}\) τότε \(a\equiv c\pmod{m}\).
Οι παραπάνω ιδιότητες (κατα σειρά ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική) φανερώνουν ότι η σχέση μοδιακής ισοτιμίας είναι σχέση ισοδυναμίας.
Έχουμε και τις παρακάτω ιδιότητες, οι οποίες συσχετίζουν τη μοδιακή ισοτιμία με τις πράξεις των ακεραίων. Συγκεκριμένα, εάν \(a\equiv b\pmod{m}\) τότε:
- \(a\pm c\equiv b\pm c\pmod{m}\),
- \(ac\equiv bc\pmod{m}\).
Τελειώνοντας τα απαραίτητα στοιχεία θεωρίας, θα χρειαστούμε και τον ορισμό της συνάρτησης ακεραίου μέρους. Εάν \(x\in\mathbb{R}\), συμβολίζουμε με \([x]\) τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος του \(x\). Ο ακέραιος αυτός ονομάζεται ακέραιο μέρος του \(x\). Επι παραδείγματι, \([2,37]=2\), \([5]=5\) και \([-21,867]=-22\).
Υπολογισμοί στο Γρηγοριανό ημερολόγιο
Θα αναζητήσουμε τώρα τον τύπο που παρέχει την ημέρα που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε ημερομηνία του Γρηγοριανού ημερολογίου. Επειδή οι ημέρες σχηματίζουν κύκλους των επτά, θα χρησιμοποιήσουμε ισοτιμίες κατά μόδιο 7. Συμβολίζουμε τις ημέρες τις εβδομάδας με τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 σύμφωνα με την παρακάτω αντιστοιχία:
Κυριακή\(\,=\,\)0,
Δευτέρα\(\,=\,\)1,
Τρίτη\(\,=\,\)2,
Τετάρτη\(\,=\,\)3,
Πέμπτη\(\,=\,\)4,
Παρασκευή\(\,=\,\)5,
Σάββατο\(\,=\,\)6. |
Αρχικά, επειδή η επιπρόσθετη μέρα κάθε δίσεκτου έτους θεωρείται στο τέλος του Φεβρουαρίου, αριθμούμε τους μήνες ξεκινώντας κάθε έτος από τον Μάρτιο και θεωρώντας ότι ο Ιανουάριος και ο Φεβρουάριος ανήκουν στο προηγούμενο έτος. Επί παραδείγματι, ο Φεβρουάριος του 2000 θεωρείται ο δωδέκατος μήνας του 1999, ενώ ο Μάιος του 2000 θεωρείται ο τρίτος μήνας του 2000. Με αυτήν τη σύμβαση ορίζουμε τα παρακάτω:
- \(k=\,\)αριθμός ημέρας του μήνα,
- \(m=\,\)αριθμός του μήνα, θεωρώντας ότι:
Ιανουάριος\(\,=\,\)11
Φεβρουάριος\(\,=\,\)12
Μάρτιος\(\,=\,\)1
Απρίλιος\(\,=\,\)2
Μάιος\(\,=\,\)3
Ιούνιος\(\,=\,\)4
|
|
Ιούλιος\(\,=\,\)5
Αύγουστος\(\,=\,\)6
Σεπτέμβριος\(\,=\,\)7
Οκτώβριος\(\,=\,\)8
Νοέμβριος\(\,=\,\)9
Δεκέμβριος\(\,=\,\)10
|
- \(C=\,\)αιώνας,
- \(Y=\,\)έτος του αιώνα,
- \(N=\,\)έτος, όπου \(N\) είναι το
τρέχον έτος, εκτός εάν ο μήνας είναι Ιανουάριος ή Φεβρουάριος,
οπότε ο \(N\) είναι το προηγούμενο έτος. Ισχύει \(N=100C+Y\).
Ως παράδειγμα, για την ημερομηνία 3 Απριλίου 1951 έχουμε \(k=3\), \(m=2\), \(N=1951\), \(C=19\) και \(Y=51\). Σημειώστε όμως ότι για την ημερομηνία 28 Φεβρουαρίου 1951 έχουμε \(k=28\), \(m=12\), \(N=1950\), \(C=19\) και \(Y=50\), σύμφωνα με όσα έχουμε ορίσει.
Ως βάση χρησιμοποιούμε την ημερομηνία της 1ης Μαρτίου. Συμβολίζουμε με \(d_{N}\) την ημέρα που αντιστοιχεί στην 1η Μαρτίου του έτους \(N\). Ξεκινούμε με το έτος 1600 και υπολογίζουμε την ημέρα που αντιστοιχεί στην 1η Μαρτίου κάθε έτους. Σημειώνουμε ότι μεταξύ της 1ης Μαρτίου του έτους \(N-1\) και της 1ης Μαρτίου του
έτους \(N\) έχουν περάσει 365 ημέρες, όταν το \(N\) δεν είναι δίσεκτο. Επειδή \(365\equiv 1\pmod{7}\), διαπιστώνουμε ότι \(d_{N}\equiv d_{N-1}+1\pmod{7}\), ενώ εάν το \(N\) είναι δίσεκτο έχουμε προφανώς ότι \(d_{N}\equiv d_{N-1}+2\pmod{7}\).
Συνεπώς, για να υπολογίσουμε το \(d_{N}\) από το \(d_{1600}\), αρκεί να βρούμε πόσα δίσεκτα έτη υπάρχουν μεταξύ του 1600 και του \(N\) (όπου δεν περιλαμβάνουμε το 1600 και περιλαμβάνουμε το \(N\)). Έστω ότι \(x\) είναι το ζητούμενο πλήθος. Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης προκύπτει ότι υπάρχουν \([(N-1600)/4]\) έτη μεταξύ του 1600 και του
\(N\) που διαιρούνται από το 4, υπάρχουν \([(N-1600)/100]\) έτη μεταξύ του 1600 και του \(N\) που διαιρούνται από το 100 και υπάρχουν \([(N-1600)/400]\) έτη μεταξύ του 1600 και του \(N\) που διαιρούνται από το 400. Άρα:
\[\begin{eqnarray*}
x &=&[(N-1600)/4]-[(N-1600)/100]+[(N-1600)/400]\\
&=&[N/4]-400-[N/100]+16+[N/400]-4\\
&=&[N/4]-[N/100]+[N/400]-388.
\end{eqnarray*}\]
Αντικαθιστώντας στην παραπάνω ισότητα το \(N=100C+Y\) έχουμε
\[\begin{eqnarray*}
x &=&[25C+(Y/4)]-[C+(Y/100)]+[(C/4)+(Y/400)]-388\\
&=&25C+[Y/4]-C+[C/4]-388\\
&\equiv
&3C+[C/4]+[Y/4]-3\pmod{7}.\end{eqnarray*}\]
(Στα παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν ορισμένες γνωστές και απλές ιδιότητες του ακεραίου μέρους).
Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το \(d_{N}\) από το \(d_{1600}\) αυξάνοντας το \(d_{1600}\) κατά μια ημέρα για κάθε επόμενο έτος και
μία μέρα για κάθε δίσεκτο έτος μεταξύ του 1600 και του \(N\). Έχουμε λοιπόν:
\[\begin{eqnarray*}d_{N}&\equiv&d_{1600}+N-1600+x\pmod{7}\\
&\equiv&d_{1600}+100C+Y-1600+3C+[C/4]+[Y/4]-3\pmod{7}.\end{eqnarray*}\]
Ανάγοντας κατά μόδιο 7 βρίσκουμε ότι:
\[d_{N}\equiv d_{1600}-2C+Y+[C/4]+[Y/4]\pmod{7}.\]
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τώρα το γεγονός ότι, παραδείγματος χάρη, η 1η Μαρτίου του 1982 ήταν Δευτέρα. Δηλαδή μπορούμε να αντικαταστήσουμε στον παραπάνω τύπο τα \(N=1982\), \(C=19\), \(Y=82\) και \(d_{1982}=1\). Έπεται ότι:
\[1\equiv d_{1600}-38+82+[19/4]+[82/4]\equiv
d_{1600}-2\pmod{7}.\]
Επομένως, \(d_{1600}=3\). Δηλαδή, η 1η Μαρτίου του 1600 ήταν Τετάρτη. Εάν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση \(d_{1600}=3\), ο τύπος για το \(d_{N}\) μετατρέπεται στον:
\[d_{N}\equiv 3-2C+Y+[C/4]+[Y/4]\pmod{7}.\]
Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα αυτόν τον τύπο για να υπολογίσουμε την πρώτη ημέρα κάθε μήνα του έτους \(N\). Για να το κάνουμε αυτό, θα υπολογίσουμε τον αριθμό των ημερών που διαφέρει η 1η κάθε μήνα από την πρώτη του επόμενου μήνα. Οι μήνες με 30 ημέρες μετατοπίζουν την 1η του επόμενου μήνα κατά δύο ημέρες, διότι \(30\equiv 2\pmod{7}\). Οι μήνες με 31 ημέρες μετατοπίζουν την 1η του επόμενου μήνα κατά τρεις ημέρες, διότι \(31\equiv 3\pmod{7}\). Συνεπώς, πρέπει να προσθέσουμε τα επόμενα:
Από 1η Μαρτίου έως 1η Απριλίου:
Από 1η Απριλίου έως 1η Μαΐου:
Από 1η Μαΐου έως 1η Ιουνίου:
Από 1η Ιουνίου έως 1η Ιουλίου:
Από 1η Ιουλίου έως 1η Αυγούστου:
Από 1η Αυγούστου έως 1η Σεπτεμβρίου:
Από 1η Σεπτεμβρίου έως 1η Οκτωβρίου:
Από 1η Οκτωβρίου έως 1η Νοεμβρίου:
Από 1η Νοεμβρίου έως 1η Δεκεμβρίου:
Από 1η Δεκεμβρίου έως 1η Ιανουαρίου:
Από 1η Ιανουαρίου έως 1η Φεβρουαρίου: |
3 ημέρες
2 ημέρες
3 ημέρες
2 ημέρες
3 ημέρες
3 ημέρες
2 ημέρες
3 ημέρες
2 ημέρες
3 ημέρες
3 ημέρες |
Χρειαζόμαστε έναν τύπο που να παράγει τα ίδια αποτελέσματα. Διαπιστώνουμε ότι ο τύπος \([2,6m-0,2]-2\) παράγει τα ίδια αποτελέσματα όταν το \(m\) κυμαίνεται από \(2\) έως και \(12\), ενώ εάν \(m=1\), το αποτέλεσμα είναι \(0\). Συνεπώς, η μέρα της 1ης κάθε μήνα \(m\) του έτους \(N\) δίδεται από το ελάχιστο μη αρνητικό υπόλοιπο κατά μόδιο 7 του \(d_{N}+[2,6m-0,2]-2\). Για να βρούμε οποιαδήποτε ημέρα \(W\) σε σχέση με την ημερομηνία, απλώς προσθέτουμε το \(k-1\) στον προηγούμενο τύπο. Από αυτό προκύπτει ότι:
\[W\equiv k+[2,6m-0,2]-2C+Y+[C/4]+[Y/4]\pmod{7}.\] Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για βρούμε την ημέρα που αντιστοιχεί σε δεδομένη ημερομηνία και έτος του Γρηγοριανού ημερολογίου.
Δύο παραδείγματα υπολογισμών
Κλείνουμε την ανάρτηση αυτή με την υλοποίηση δύο παραδείγματων. Στο πρώτο παράδειγμα θα βρούμε ποια ήταν η ημέρα της εβδομάδας που προσεδαφίστηκαν για πρώτη φορά άνθρωποι στη Σελήνη. Ως γνωστό, ήταν η 20η Ιουλίου του 1969, επομένως έχουμε \(C=19\), \(Y=69\), \(m=5\) και \(k=20\). Άρα:
\[\begin{eqnarray*}
W&\equiv& 20+[2,6\cdot 5-0,2]-2\cdot 19+69+[18/4]+[69/4]\pmod{7}\\
&\equiv & 20+[12,8]-38+69+[4,5]+[17,25]\pmod{7}\\
&\equiv & 20+12-38+69+4+17\pmod{7}\\
&\equiv & 84\pmod{7}\\
&\equiv & 0\pmod{7}.\end{eqnarray*}\] Συνεπώς, η ζητούμενη ημέρα ήταν Κυριακή.
Στο δεύτερο παράδειγμα θα υπολογίσουμε την ημέρα της εβδομάδας που θα γίνει για πρώτη φορά επιτυχής μεταμόσχευση καρδιάς σε άνθρωπο, εκτυπωμένη από τρισδιάστατο εκτυπωτη. Η ημερομηνία αυτή είναι στο μέλλον, η 25η φεβρουαρίου του 2024. Έχουμε \(C=20\), \(Y=24\), \(m=12\) και \(k=25\). Άρα:
\[\begin{eqnarray*}
W&\equiv& 25+[2,6\cdot 12-0,2]-2\cdot 20+24+[20/4]+[24/4]\pmod{7}\\
&\equiv & 25+31-40+24+5+6\pmod{7}\\
&\equiv & 51\pmod{7}\\
&\equiv & 2\pmod{7},\end{eqnarray*}\]
δηλαδή Τρίτη.
Περισσότερα για το Γρηγοριανό ημερολόγιο καθώς και άλλα σχετικά θέματα μπορείτε να βρείτε
εδώ.
