Η επικυκλοειδής και η υποκυκλοειδής καμπύλη

Επικυκλοειδής ονομάζεται μια καμπύλη η οποία προκύπτει ως η τροχιά που ακολουθεί ένα σταθερό σημείο σε έναν κύκλο ακτίνας \(r\), όταν ο κύκλος αυτός κυλάει επί ενός άλλου σταθερού κύκλου ακτίνας \(R\). Όταν ο κύκλος ακτίνας \(r\) κυλάει εσωτερικά στον κύκλο ακτίνας \(R\), τότε η αντίστοιχη καμπύλη ονομάζεται υποκυκλοειδής.

Οι παραμετρικοί τύποι της επικυκλοειδούς και της υποκυκλοειδούς είναι αντιστοίχως οι παρακάτω: \[\left\{ \begin{array}{l} x(t) = (R + r) \cos t - r \cos \left( \dfrac{R + r}{r} t\right)\\ y(t) = (R + r) \sin t - r \sin \left( \dfrac{R + r}{r} t \right)\\ \end{array} \right.,\,\,\,t \in \mathbb{R}\] και \[\left\{ \begin{array}{l} x(t) = (R - r) \cos t + r \cos \left( \dfrac{R - r}{r} t \right)\\ y(t) = (R - r) \sin t - r \sin \left( \dfrac{R - r}{r} t \right)\\ \end{array} \right.,\,\,\,t \in \mathbb{R}\]

Και για τις δύο καμπύλες ισχύουν τα εξής:

• Εάν ο λόγος \(\dfrac{R}{r}\) είναι ρητός και ισούται με \(\dfrac{\alpha}{\beta}\), όπου \(\alpha,\beta\) θετικοί ακέραιοι και το κλάσμα είναι ανάγωγο, τότε η καμπύλη έχει \(\alpha\) σημεία αιχμής (σημεία στα οποία δεν είναι διαφορίσιμη) και είναι κλειστή.
• Εάν ο λόγος \(\dfrac{R}{r}\) είναι αρρητός, τότε η καμπύλη δεν είναι κλειστή.

Στα παρακάτω βίντεο αποτυπώνεται ο ορισμός και διάφορα παραδείγματα της επικυκλοειδούς και της υποκυκλοειδούς αντιστοίχως. Στο πρώτο βίντεο η καμπύλη έχει λόγο \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{19}{40}\) (επομένως 40 σημεία αιχμής) ενώ στο δεύτερο έχει \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{9}{20}\) (επομένως 20 σημεία αιχμής). Στο δεύτερο μέρος του κάθε βίντεο αποτυπώνονται οι αντίστοιχες καμπύλες για διάφορες τιμές του λόγου \(\dfrac{R}{r}\).

Μια ενδιαφέρουσα τρισδιάστατη καμπύλη

Δημιούργησα ένα βίντεο στο οποίο αποτυπώνεται η γραφική παράσταση μιας καμπύλης που μου κίνησε το ενδιαφέρον. Πρόκειται για την καμπύλη που ορίζεται από τους παραμετρικούς τύπους συντεταγμένων: \[\left\{ \begin{array}{l} x(t) = \sin t + 2\sin 2t\\ y(t) = \cos t - 2\cos 2t\\ z(t) = - \sin 3t \end{array} \right.,\,\,\,t \in [0,2\pi ]\]

Παρακάτω φαίνονται οι προβολές της καμπύλης στα επίπεδα που ορίζονται από τους άξονες συντεγμένων ανά δύο.

Προβολή στο επίπεδο \(xy\)

 Προβολή στο επίπεδο \(xz\) 

 Προβολή στο επίπεδο \(yz\) 

Για την καλύτερη κατανόηση του σχήματος προσπαθήστε, παρακολουθώντας το βίντεο, να υλοποιήσετε την καμπύλη με ένα κορδόνι ή σπάγκο.