Τα τελευταία χρόνια έχει αναπτυχθεί ένα κίνημα στους κόλπους των μαθηματικών, του οποίου τα μέλη ισχυρίζονται ότι η επιλογή του γνωστού \(\pi\) ως σταθερά του κύκλου είναι αφύσική και λανθασμένη. Η σωστή επιλογή για μια σταθερά του κύκλου είναι το \(2\pi\), για την οποία υπάρχει η πρόταση να συμβολίζεται με \(\tau\).
το οποίο και παραπέμπει οπτικά στο \(2\pi\).
Όλα ξεκίνησαν από ένα άρθρο που δημοσίευσε ο μαθηματικός Robert Palais (του τμήματος μαθηματικών του πανεπιστημίου της Utah) στο περιοδικό The Mathematical Intelligencer, το 2001, με τίτλο "\(\pi\) is wrong", στο οποίο ο συγγραφέας επιχειρηματολογεί για τα μειονεκτήματα της επιλογής του \(\pi\) ως σταθερά του κύκλου. Τα βασικά επιχειρήματά του, καθώς και αυτών που ανήκουν στο κίνημα "\(\tau\) εναντίον \(\pi\)", είναι:
- Το \(\pi\) (σε ακτίνια) ισοδυναμεί με μισή στροφή κύκλου ενώ είναι πιο φυσιολογική η χρήση ολόκληρης στροφής κύκλου, δηλαδή το \(\tau\). Παραδείγματος χάρη, το \(\tau/4\) δηλώνει το \(1/4\) του κύκλου, ενώ εκφράζοντας το με το \(\pi\) είναι \(\pi/2\).
- Υπάρχει μεγάλο πλήθος τύπων και θεωρημάτων στα μαθηματικά, που διατυπώνονται με το \(\pi\). Η αντικατάσταση των διατυπώσεων με \(\tau\) απλοποιεί την κατάσταση και απεικονίζεται πιο καθαρά ο γεωμετρικός χαρακτήρας.
Παρακάτω μπορείτε να διαβάσετε το άρθρο. Να σημειώσω ότι στο άρθρο δεν χρησιμοποιείται το σύμβολο \(\tau\) (προέκυψε αργότερα) αλλά το σύμβολο:
Εν συνεχεία, θα κάνουμε μια σύγκριση της εκφρασης με χρήση του \(\pi\) και με χρήση του \(\tau\) κάποιων γνωστών τύπων.
- Μήκος κύκλου
\(2\pi\rho\) \(\tau\rho\) - Εμβαδό κύκλου
Ο δεύτερος τύπος είναι παρόμοιος με άλλους γνωστούς τύπους τετραγωνικής μορφής όπως \(\frac{1}{2} gt^2\), \(\frac{1}{2} kx^2\), \(\frac{1}{2} mv^2\). Η μορφή των τύπων αυτών ενσωματώνει και τον τρόπο απόδειξης, μέσω ολοκλήρωσης ενός γραμμικού πολυωνύμου.\(\pi\rho^2\) \(\dfrac{1}{2}\tau\rho^2\) - Εμβαδό σφαιρικής επιφάνειας
\(4\pi\rho^2\) \(2\tau\rho^2\) - Όγκος σφαίρας
\(\dfrac{4}{3}\pi\rho^3\) \(\dfrac{2}{3}\tau\rho^3\) - Εμβαδό \(n-\)διάστατης σφαίρας
\(S_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{2\pi^{n/2}\,r^{n-1}}{(\frac{1}{2}n - 1)!}, & 2\mid n \\ \\ \displaystyle \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{(n-2)!!}, & 2\nmid n \end{cases}\) \(S_n = \frac{\tau^{\left[ \frac{n}{2} \right]}\,r^{n-1}}{(n-2)!!}\times \begin{cases} 1, & 2\mid n \\ \\ 2, & 2\nmid n \end{cases}\) - Όγκος \(n-\)διάστατης σφαίρας
\(V_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi^{n/2}\,r^n}{(\frac{n}{2})!}, & 2\mid n \\ \\ \displaystyle \frac{2^{(n+1)/2}\pi^{(n-1)/2}\,r^n}{n!!}, & 2\nmid n \end{cases}\) \(V_n = \frac{\tau^{\left[\frac{n}{2} \right]}\,r^n}{n!!}\times \begin{cases} 1, & 2\mid n \\ \\ 2, & 2\nmid n \end{cases}\)
Οι τύποι του εμβαδού και όγκου \(n-\)διάστατης σφαίρας έχουν πιο απλή μορφή εάν χρησιμοποιήσουμε το \(\tau\). - \(n-\)τάξης ρίζες της μονάδας
\(e^{2\pi i/n}\) \(e^{\tau i/n}\) - Συνάρτηση σφάλματος
\(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{0}^{x}
e^{-t^{2}/2}\, dt\)\(\dfrac{1}{\sqrt{\tau}}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}/2}\, dt\) - Κανονική κατανομή
\(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{\tau}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) - Μετασχηματισμός Fourier
\(f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty F(k)\, e^{2\pi ikx}\,dk\) \(f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty F(k)\, e^{2\tau ikx}\,dk\) - Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
\(F(k) = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi ikx}\,dx\) \(F(k) = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-\tau ikx}\,dx\) - Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy
\(f(a) = \dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz\) \(f(a) = \dfrac{1}{\tau i}\displaystyle\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz\) - Τιμές της συνάρτησης \(\zeta\) στους θετικούς άρτιους ακέραιους
\(\zeta(2n) = \dfrac{(-1)^{n+1}B_{2n}}{2(2n)!}\,(2\pi)^{2n}\) \(\zeta(2n) = \dfrac{(-1)^{n+1}B_{2n}}{2(2n)!}\,\tau^{2n}\)
Στην ιστοσελίδα το μανιφέστο του \(\tau\) (και στους συνδέσμους αυτής) μπορείτε να βρείτε πολύ υλικό για το θέμα (από εκεί άντλησα κυρίως το υλικό αυτής της ανάρτησης). Αναμενόμενα, εμφανίστηκε και το αντι-κίνημα που υποστηρίζει τη διατήρηση της χρήσης του \(\pi\). Στο μανιφέστο του \(\pi\) μπορείτε να βρείτε τα επιχειρήματα της "αντίπαλης πλευράς".
Τα επιχειρήματα του \(\tau-\)κινήματος είναι αρκετά ελκυστικά, αλλά θεωρώ ότι επί της ουσίας είναι ανέφικτη η πρόταση περι αντικατάστασης του \(\pi\) με το \(\tau\), δεδομένου ότι το \(\pi\) είναι βαθιά ριζωμένο στη μαθηματική κουλτούρα. Ως εξαιρετικά σημαντικό πάντως θεωρώ το παιδαγωγικό επιχείρημα για την τριγωνομετρία: τα ακτίνια επί της ουσίας μετρούν ποσοστό (ή κλάσμα αν θέλετε) του κύκλου και είναι πιο φυσιολογική μονάδα μέτρησης από τις μοίρες. Η χρήση του \(\tau\) αντί του \(\pi\) απεικονίζει ορθότερα, από παιδαγωγική άποψη, την έννοια και τη χρήση των ακτινίων. Όπως πολύ έξυπνα γράφει ο Palais στο άρθρο του: "Ένα διαφωτιστικό παράδειγμα θα ήταν να ορίζαμε την ώρα ως 30 λεπτά αλλά τα ρολόγια να έμεναν όπως είναι."
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου