Η επικυκλοειδής και η υποκυκλοειδής καμπύλη

Επικυκλοειδής ονομάζεται μια καμπύλη η οποία προκύπτει ως η τροχιά που ακολουθεί ένα σταθερό σημείο σε έναν κύκλο ακτίνας \(r\), όταν ο κύκλος αυτός κυλάει επί ενός άλλου σταθερού κύκλου ακτίνας \(R\). Όταν ο κύκλος ακτίνας \(r\) κυλάει εσωτερικά στον κύκλο ακτίνας \(R\), τότε η αντίστοιχη καμπύλη ονομάζεται υποκυκλοειδής.

Οι παραμετρικοί τύποι της επικυκλοειδούς και της υποκυκλοειδούς είναι αντιστοίχως οι παρακάτω: \[\left\{ \begin{array}{l} x(t) = (R + r) \cos t - r \cos \left( \dfrac{R + r}{r} t\right)\\ y(t) = (R + r) \sin t - r \sin \left( \dfrac{R + r}{r} t \right)\\ \end{array} \right.,\,\,\,t \in \mathbb{R}\] και \[\left\{ \begin{array}{l} x(t) = (R - r) \cos t + r \cos \left( \dfrac{R - r}{r} t \right)\\ y(t) = (R - r) \sin t - r \sin \left( \dfrac{R - r}{r} t \right)\\ \end{array} \right.,\,\,\,t \in \mathbb{R}\]

Και για τις δύο καμπύλες ισχύουν τα εξής:

• Εάν ο λόγος \(\dfrac{R}{r}\) είναι ρητός και ισούται με \(\dfrac{\alpha}{\beta}\), όπου \(\alpha,\beta\) θετικοί ακέραιοι και το κλάσμα είναι ανάγωγο, τότε η καμπύλη έχει \(\alpha\) σημεία αιχμής (σημεία στα οποία δεν είναι διαφορίσιμη) και είναι κλειστή.
• Εάν ο λόγος \(\dfrac{R}{r}\) είναι αρρητός, τότε η καμπύλη δεν είναι κλειστή.

Στα παρακάτω βίντεο αποτυπώνεται ο ορισμός και διάφορα παραδείγματα της επικυκλοειδούς και της υποκυκλοειδούς αντιστοίχως. Στο πρώτο βίντεο η καμπύλη έχει λόγο \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{19}{40}\) (επομένως 40 σημεία αιχμής) ενώ στο δεύτερο έχει \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{9}{20}\) (επομένως 20 σημεία αιχμής). Στο δεύτερο μέρος του κάθε βίντεο αποτυπώνονται οι αντίστοιχες καμπύλες για διάφορες τιμές του λόγου \(\dfrac{R}{r}\).